Question

已知函数为奇函数.

（1）求常数的值；

（2）判断函数的单调性，并说明理由；

（3）函数的图象由函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出的一个对称中心，若，求的值.

Answer

（1）；（2）减函数，证明见解析；（3）对称中心，．

【解析】

试题分析：（1）本题唯一的条件是为奇函数，故其定义域关于原点对称，通过求函数的定义域可求得，当然这时还要根据奇函数的定义验证确实是奇函数；（2）要判断函数的单调性，可根据复合函数单调性的性质确定，然后再根据定义证明，而函数为奇函数，故只要判断函数在区间上的单调性即可，变形为可得在是递减，当然它在上也是递减的，然后用单调性定义田加以证明；（3）为奇函数，它的对称中心为，的图象是由的图象平移过去的，因此对称中心也相应平移，即对称中心为，函数的图象对称中心为，则有性质：，因此本题是有，即.

试题解析：(1)因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由，得

，所以.                        2分

这时满足，函数为奇函数，因此        4分

（2）函数为单调递减函数.

法一:用单调性定义证明；

法二：利用已有函数的单调性加以说明.

在上单调递增，因此单调递增，又在及上单调递减，因此函数在及上单调递减；

法三：函数定义域为，说明函数在上单调递减，因为函数为奇函数，因此函数在上也是单调递减，因此函数在及上单调递减.

10分

（本题根据具体情况对照给分）

（3）因为函数为奇函数，因此其图像关于坐标原点（0,0）对称，根据条件得到函数的一个对称中心为，                               13分

因此有，因为，因此 16分

考点：（1）奇函数的性质；（2）函数的单调性；（3）函数图象的平移，函数图象的对称性．