Question

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）证明：当时，数列在该区间上是递增数列；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

Answer

(1)，值域为；（2）证明见解析；（3）存在，且．

【解析】

试题分析：（1）这是一个不等式恒成立问题，把不等式转化为恒成立，那么这一定是二次不等式，恒成立的条件是可解得，从而得到的解析式，其值域也易求得；（2）要证明数列在该区间上是递增数列，即证，也即，根据的定义，可把化为关于的二次函数，再利用，可得结论；（3）这是一道存在性问题，解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论，本题中假设存在，使不等式成立，为了求出，一般要把不等式左边的和求出来，这就要求我们要研究清楚第一项是什么？这个和是什么数列的和？由，从而，

，不妨设，则（），对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为，这是数列的递推公式，可以变为一个等比数列，方法是上式可变为，即数列是公比为2的等比数列，其通项公式易求，反过来，可求得，从而求出不等式左边的和，化简不等式．

试题解析：（1）由恒成立等价于恒成立，

从而得：，化简得，从而得，所以，

3分

其值域为.                                         4分

（2）【解析】

6分

， 8分

从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.     10分

（3）由（2）知，从而；

，即；

12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，

从而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.

即，所以，恒成立.        15分

当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为.        16分

当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为.       17分

所以，对任意，有.又非零整数，       18分

考点：（1）二次不等式恒成立问题与函数的值域；（2）递增数列；（3）递推公式，的数列通项公式，等比数列的前项和．