Question

由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.

（1）若函数确定数列的反数列为，求；

（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；

（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）本题实质是求函数的反函数；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左边的最小值，所以我们一般想办法求左边这个和，然而由（1）知，这个和求不出，那么我们只能从另一角度去思考，看的单调性，这里只要作差就可得出是递增数列，所以的最小值是，问题解决；（3）看起来很复杂，实质上由于和取值只能是0和1，因此我们按的奇偶性分类讨论，问题就简化了，例如当为奇数时，，则，就可求出，从而求出的前项和了．

试题解析：（1），则；4分

（2）不等式化为：，5分

设，因为，

所以单调递增，                                    7分

则.因此，即.因为，

所以，得.             10分

（3）当为奇数时，，.        11分

由，则，

即，因此，                       13分

所以                                          14分

当为偶数时，，.                    15分

由得，即，因此，   17分

所以                                    18分

考点：（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．