Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合这个要求，并说明原因；

（2）若该公司采用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．

Answer

（1）① 是定义域上是增函数；② 恒成立；③ 恒成立．不符合公司要求．（2）．

【解析】

试题分析：（1）要将文字语言转化为数学语言主要依据是相应概念的理解，由奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，可联想到函数增减性的定义;由奖金不超过9万元，可联想到函数的值域;由奖金不超过投资收益的20%，收益就是题中的值，即可用来表示，判断给定函数是否符合题意其实也就是去遂一进行检验; （2）所给函数是一个分式型函数，先采用分子分离的方法化简一下，以便出增函数得出一个关于的不等式，结合单调增易得最大值，由其小于等于9得到关于的第二个条件，再由代入可得一不等式恒成立，进而得到关于的第三个条件，这三条件共同确定出的范围．

试题解析：（1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：当时，

① 是定义域上是增函数；

② 恒成立

③ 恒成立．                                          3分

对于函数模型，当时，是增函数；

，∴恒成立；

但当时，，即不恒成立． 

综上，该函数模型不符合公司要求．                              6分

（2）对于函数模型，即，

① 当，即时，在上是增函数； 8分

② 为使对在恒成立，则，即； 10分

③ 为使对在恒成立，则，

即，即对恒成立， 12分

综上，，又，∴．                            14分

考点：1.文字语言与数学语言的互化;2.函数的单调性;3.函数的值域