Question

对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的，都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“型”函数．

（1）求证：函数是上的“型”函数；

（2）设是（1）中的“型”函数，若不等式对一切的恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数是区间上的“型”函数，求实数和的值．

Answer

（1）详见解析;（2）;（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数，可作出函数的图象，不难发现当时，；当时，，由此可易得证; （2）由（1）中的函数不难求出函数的最小值，这们即可将问题转化为求恒成立，这是一个关于的含有绝对值的不等式，去掉绝对值可得，然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集; （3）根据题中“型”函数的定义，则可假设存在闭区间和常数，使得对任意的，都有，这样即可得到一个恒等式，即对任意恒成立，则对应系数分别相等，即可求出对应的，注意要回代检验一下，判断其余的是否均大于这个最小值．

试题解析：（1）当时，；当时，，

∴ 存在闭区间和常数符合条件．                        4分

（2）对一切的恒成立，

∴ ，                         6分

解得 ．                                                    10分

（3）存在闭区间和常数，使得对任意的，

都有，即，

∴ 对任意恒成立

∴ 或                               12分

① 当时，

当时，

当，即时，

由题意知，符合条件；                                     14分

②当时，  

∴不符合要求；                                          16分

综上，．

考点：1.新定义题;2.分段函数的处理;3.函数的最值