Question

己知函数 .

(I)求的极大值和极小值；

(II)当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（I)的极大值为和；的极小值为.(II)的取值范围是.

【解析】

试题分析：（I) 易知函数定义域为，在上讨论的极值先求导，列出的正负表，再根据函数的单调性和极值与倒数的关系即可求出极值.

（II)  本题是不等式恒成立求参数范围问题，一般思路是化简-分类讨论，但本题中化简后为，如果用即换元后为讨论起来更简单.分别讨论时，化简为；‚时，恒成立；‚时化简为三种情况，运用均值不等式求出范围即可.

试题解析：（I) 函数，知定义域为,.

所以的变化情况如下：

+

0

-

0

+

0

-

递增

极大值

递减

极小值

递增

极大值

递减

所以的极大值为和；的极小值为.

（II) 当时，恒成立，化简为，令

则，代入化简为.当时，即，等价于

由，当且仅当时，即等号成立.所以的取子范围是；‚当时，即，不等式恒成立；ƒ当时，即，

等价于由，当且仅当时，即等号成立.所以的取子范围是；综上的取值范围是.

考点：1.极值的求法；2.含参不等式恒成立问题.