Question

设抛物线的焦点为，准线为，，以为圆心的圆与相切于点，的纵坐标为，是圆与轴除外的另一个交点.

(I)求抛物线与圆的方程；

( II)已知直线，与交于两点，与交于点,且， 求的面积．

Answer

(I)抛物线为：，圆的方程为：；   ( II) .

【解析】

试题分析：(I)根据抛物线的方程与准线，可得，由的纵坐标为，的纵坐标为，即 ，，由题意可知：，则在等腰三角形中有或，由于不重合，则.则抛物线与圆的方程就得出.

(II)根据题意可得三角形是直角三角形，又因，则是的中点，即解得.

联立直线与抛物线方程得则由弦长公式得，又根据点到直线的距离得出到的距离，从而得出.

试题解析：(I)根据抛物线的定义：有由的纵坐标为，的纵坐标为

 ，，则，又由得

则抛物线为：，圆的方程为：

( II)由,

根据题意可得三角形是直角三角形，又因，则是的中点，即解得.

由,根据点到直线的距离得出到的距离，从而得出.

考点：1.抛物线的定义与抛物线与直线之间的关系；2.对弦长公式与点到直线距离的考查.