Question

已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）确定椭圆标准方程 ，先定位后定量.由等差中项得，根据椭圆定义，得，又，所以可求，由椭圆焦点在轴，写出椭圆方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立，并利用列方程，得的等式，求四边形面积的最大值，关键在于建立关于面积的目标函数，然后确定函数的最大值即可，分和讨论，当时，结合平面几何知识，得（其中表示两焦点到直线的距离），再结合得关于的函数，并求其范围；当时，该四边形是矩形，求其面积，从而确定的范围，进而确定最大值.

试题解析：（1）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

， ．

又，．

椭圆的方程为．

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得，由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，   （法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，  

，

，当时，，，．当时，四边形是矩形，．所以四边形面积的最大值为．

（法二），

．

．

四边形的面积， 

．

当且仅当时，，故．

所以四边形的面积的最大值为．

考点：1、等差中项；2、椭圆的标准方程；3、直线和椭圆的位置关系.