Question

已知函数f（x）=，x∈[1，3]，

（1）求f（x）的最大值与最小值；

（2）若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）的最大值为，最小值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求导函数，再求的根，再判断根两侧导数的符号，进而判断函数大致图象，再从大致图象并比较端点函数值的大小来确定最大值和最小值；（2）恒成立问题关键搞清变量和参数的关系，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则，该题中首先利用的最大值小于，得关于恒成立的不等式，再根据，求参数的范围.

试题解析：（1）因为函数，所以，令得，因为，

 当时  ；当时，；∴在上单调减函数，在上单调增函数，∴在处取得极小值； 又，，∵∴∴，

∴时的最大值为，时函数取得最小值为．

（2）由（1）知当时，，故对任意，恒成立，

只要对任意恒成立，即恒成立，记，

∴，解得，∴实数a的取值范围是．

考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值和最值.