Question

数列的前项和为，若，点在直线上．

⑴求证：数列是等差数列；

⑵若数列满足，求数列的前项和；

⑶设，求证：．

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查等比数列、等差数列、不等式等基础知识，考查运算能力、推理论证能力.第一问，由于点在直线上，所以将点代入得到与的关系式，两边同除以，凑出新的等差数列，并求出首项个公差；第二问，先利用第一问的结论求出的通项公式，得到的表达式，由求，将得到的结论代入到中，用错位相减法求，在解题过程中用到了等比数列的前n项公式；第三问，先将第二问的结论代入，利用分组求和的方法先求出，当时，具体比较结果与的大小，当时，得到的数都比的结果大，所以都大于，所以不等式成立.

试题解析：（1）∵点在直线（）上，

∴，

两边同除以，得，，

于是，是以3为首项，1为公差的等差数列.

（2）∵，∴，

∴当时，，

当时，，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴.

（3）∵，

∴

当时，，

当时，，

当时，，

所以.

考点：1.配凑法求通项公式；2.等差数列的通项公式；3.错位相减法；4.等比数列的前n项和公式；5.分组求和.