Question

已知函数（）．

（1）求的单调区间；

（2）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

（3）讨论关于的方程的实根情况．

Answer

（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为；（2）的最小值为；（3）时，方程有两个实根，当时，方程有一个实根，当时，方程无实根．

【解析】

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先求导数，令导数等于0，得到方程的根，则为增函数，为减函数，本问要注意函数的定义域；第二问，先利用导数求出切线的斜率，得到恒成立的表达式，将其转化为对恒成立，所以关键就是求，配方法求最大值即可；第三问，先将原方程化为，设，看函数图像与x轴的交点，对求导，判断函数的单调性，求出函数的最大值，讨论最大值的三种情况来决定方程根的情况.

试题解析：(Ⅰ) ，定义域为，

则．

因为，由得， 由得，

所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为．   .3分

(Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足

  ，

所以对恒成立．

又当时， ，

所以的最小值为．         .6分

(Ⅲ)由题意，方程化简得

令，则．

当时， ，

当时， ，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以在处取得极大值即最大值，最大值为．

所以当，即时， 的图象与轴恰有两个交点，

方程有两个实根，

当时，的图象与轴恰有一个交点，

方程有一个实根，

当时，的图象与轴无交点，

方程无实根．                 12分

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.