Question

已知数列是首项为，公比的等比数列.设，，数列满足；

（Ⅰ）求证：数列成等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 本小题首先数列是首项为，公比的等比数列求得数列的通项公式，再代入即可求得数列的通项公式，然后根据等差数列的定义来判断其为等差数列；

(Ⅱ) 本小题首先求得数列的通项公式，分析可知对其求和需用错位相减求和的方法，于是求得该数列的前项和；

（Ⅲ）本小题首先分析对一切正整数恒成立，等价于，于是就分析数列的单调性，求得其的最大项，代入解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，

为等差数列，其中.                        5分

（Ⅱ）

       ①          

  ②

-②得

                                9分

（Ⅲ）

当时，，当时，

，

若对一切正整数恒成立，则即可

，即或.                    14分

考点：1.等差等比数列；2.错位相减求和；3.恒成立问题.