Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，求证：平面平面.

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由底面是菱形，可得再根据线面平行的性质定理可直接证得平面。（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可证得平面，即可证得。（Ⅲ）当时为正三角形，可得，可根据面面的性质定理证得，再根据面面垂直的判定定理可证得面平面。法二时，因为（Ⅱ）中已证，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而证得面平面

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为底面是菱形，

所以.              1分

又因为平面，        3分

所以平面.           4分

（Ⅱ）因为，点是棱的中点，

所以.                                           5分

因为平面平面,平面平面,平面,       7分

所以平面,                                    8分

因为平面,

所以.                                         9分

（Ⅲ）因为，点是棱的中点，

所以.                                           10分

由（Ⅱ）可得，                                11分

所以平面，                                    13分

又因为平面,

所以平面平面.                                14分

考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直，考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力。