Question

已知函数，其中为常数.

（Ⅰ）若函数是区间上的增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数是区间上的增函数，所以在上恒成立。故应先求导，再求导函数的最小值使其大于等于。（Ⅱ）在时恒成立即在上恒成立，故应去求函数的最小值。应先求导，令导数等于0得，讨论导数的正负，得函数的单调区间。在讨论极值点与0和2的大小得函数在上的单调性，根据单调性求函数在的最小值。

试题解析：（Ⅰ）,.                          2分

因为函数是区间上的增函数，

所以，即在上恒成立.          3分

因为是增函数，

所以满足题意只需，即.                 5分

（Ⅱ）令，解得                             6分

的情况如下：

①当，即时，在上的最小值为，

若满足题意只需，解得，

所以此时，；                                 11分

②当，即时，在上的最小值为，

若满足题意只需，求解可得此不等式无解，

所以不存在；                                        12分

③当，即时，在上的最小值为,

若满足题意只需，解得,

所以此时，不存在.                                  13分

综上讨论，所求实数的取值范围为.

考点：考查导数和利用导数研究函数性质的方法的数学思想，意在考查考生灵活应用导数分析、解决问题的能力，考查考生的逻辑思维能力、运算能力和创新应用能力。