Question

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在圆：上.

（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；

（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由圆方程可知圆心为，即，又因为离心率为，可得，根据椭圆中关系式，可求。椭圆方程即可求出。因为，则右顶点为，将其代入圆的方程可求半径。（Ⅱ）设出直线方程，然后和椭圆方程联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为是其中一个交点，所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点的坐标，再将其代入圆方程。解出的值。若则说明存在满足条件的直线可求出其方程，若，则说明不存在满足条件的直线。法二：假设存在，由已知可得，因为点为线段的中点，所以，因为点在椭圆上可推导得，与矛盾，故假设不成立。

试题解析：（Ⅰ）由题意可得，                            1分

又由题意可得，

所以，                                           2分

所以,                                   3分

所以椭圆的方程为.                         4分

所以椭圆的右顶点，                             5分

代入圆的方程，可得,

所以圆的方程为.                        6分

（Ⅱ）法1：

假设存在直线:满足条件，               7分

由得          8分

设，则,                          9分

可得中点，                            11分

由点在圆上可得

化简整理得                                       13分

又因为，

所以不存在满足条件的直线.                             14分

（Ⅱ）法2：

假设存在直线满足题意.

由（Ⅰ）可得是圆的直径，                           7分

所以.                                          8分

由点是中点，可得.                    9分

设点，则由题意可得.                  10分

又因为直线的斜率不为0，所以,                   11分

所以,           13分

这与矛盾，所以不存在满足条件的直线.           14分

考点：椭圆及圆的基础知识、直线与椭圆的位置关系，考查分析问题、解决问题以及化归与转化的能力，考查综合素质。