Question

如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为N函数.

例如：就是N函数.

（Ⅰ）判断下列函数：①，②，③中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；

（Ⅱ）判断函数是否为N函数，并证明你的结论；

（Ⅲ）证明：对于任意实数，函数都不是N函数.

（注：“”表示不超过的最大整数）

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函数；（Ⅲ）略

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域为时，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函数 。的定义域为时，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函数。当时，所以是N函数。（Ⅱ）因为“”表示不超过的最大整数，所以。设，则，所以，解得，因为所以在一定存在正整数，即存在满足（Ⅲ）需对实数在全体实数范围内进行讨论。若为负时，函数不是N函数；若函数有最大值时，函数不是N函数；若函数的值是正数但不能取到所有正数时，函数不是N函数。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）只有是N函数.                    3分

（Ⅱ）函数是N函数.

证明如下：

显然，， .                  4分

不妨设,

由可得，

即.

因为，恒有成立，

所以一定存在，满足，

所以设，总存在满足，

所以函数是N函数.                     8分

（Ⅲ）（1）当时，有，

所以函数都不是N函数.                  9分

（2）当时，① 若，有，

所以函数都不是N函数.       10分

② 若，由指数函数性质易得，

所以，都有

所以函数都不是N函数.         11分

③ 若，令，则，

所以一定存在正整数使得 ，

所以，使得，

所以.

又因为当时，,所以；

当时，,所以，

所以，都有，

所以函数都不是N函数.      13分

综上所述，对于任意实数，函数都不是N函数.

考点：新概念问题，考查分析能力、对所学知识的综合运用能力及论证推理能力。