Question

如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.

（Ⅰ）求证：底面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

【解析】

试题分析：（Ⅰ）,所以为中点。因为等边三角形中线即为高线，等腰三角形底边中线也为高线，可证得，根据线面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直线与平面在图中没有标示出交点，故用空间向量法较简单。根据底面为菱形和底面可建立以为原点的空间直角坐标系。求点坐标可根据，得,即可求点的坐标，也可根据求。先求面的法向量，此法向量与所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得∥平面。设，可得点坐标，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因为∥平面，所以垂直与的法向量，可求得的值，若说明假设成立，否则假设不成立。

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为底面是菱形，,

所以为中点.                       1分

又因为,

所以,                                    3分[

所以底面.                                     4分

（Ⅱ）由底面是菱形可得,

又由（Ⅰ）可知.

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

由是边长为2的等边三角形，，

可得.

所以.            5分

所以,.

由已知可得            6分

设平面的法向量为，则

即

令，则，所以.          8分

因为，          9分

所以直线与平面所成角的正弦值为，

所以直线与平面所成角的大小为.                    10分

（Ⅲ）设，则

.         11分

若使∥平面，需且仅需且平面，      12分

解得,          13分

所以在线段上存在一点，使得∥平面.

此时=.                                               14分

考点：线面平行、线面垂直、线面角、空间向量法解立体几何，考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力、运算求解能力。