Question

已知关于的函数

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数没有零点，求实数取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求导再讨论其单调性，根据单调性可求其极值。（Ⅱ）先求导再讨论函数的单调性，根据单调性求其极值或最值，因为函数没有零点，所以函数的极大值小于0或极小值大于0。否则函数将存在零点。

试题解析：【解析】
（Ⅰ），.             2分

当时，,的情况如下表：

所以，当时，函数的极小值为.              6分

（Ⅱ）.

①当时，的情况如下表：

        7分

因为,                                            8分

若使函数没有零点，需且仅需，解得,       9分

所以此时；                                   10分

②当时，的情况如下表：

  11分

因为,且,         12分

所以此时函数总存在零点.                         13分

综上所述，所求实数的取值范围是.

考点：考查导数和利用导数研究函数性质的方法的数学思想，意在考查考生灵活应用导数分析、解决问题的能力，考查考生的逻辑思维能力、运算能力和创新应用能力。