Question

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（Ⅰ）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（Ⅱ）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论；

（Ⅲ）证明：，函数都是等比源函数.

Answer

（Ⅰ）①②③（Ⅱ）不是等比源函数（Ⅲ）略

【解析】

试题分析：（Ⅰ）①是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。1、4、16成等比。②是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。成等比。③是等比源函数，例：当时，；当时，；当时，。1、2、4成等比数列。（Ⅱ）假设函数是等比源函数，即存在正整数且，使得成等比数列，根据等比中项列出式子，再推理论证得出矛盾。（Ⅲ）根据可推导出为首项为正整数公差也为正整数的等差数列。假设（）整理得当时说明假设成立，即函数值中存在三个不同的数构成等比数列。

试题解析：（Ⅰ）①②③都是等比源函数.                        3分

（Ⅱ）函数不是等比源函数.                          4分

证明如下：

假设存在正整数且，使得成等比数列，

，整理得，       5分

等式两边同除以得.

因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式不可能成立，

所以假设不成立，说明函数不是等比源函数.        8分

（Ⅲ）法1：

因为，都有，

所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.

，成等比数列，

因为，

，

所以，

所以，函数都是等比源函数.             13分

（Ⅲ）法2：

因为，都有，

所以，数列都是以为首项公差为的等差数列.

由，（其中）可得

，整理得

，

令，则，

所以，

所以，数列中总存在三项成等比数列.

所以，函数都是等比源函数.             13分

考点：新概念问题，考查分析能力、对所学知识的综合运用能力及论证推理能力。