Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最小值.（为自然对数的底数）

Answer

(Ⅰ)的单调递减区间是和，单调递增区间是；(Ⅱ)；

（Ⅲ）当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间；

（Ⅱ）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值；

（Ⅲ）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值.

试题解析：（Ⅰ），（），                         2分

在区间和上，；在区间上，.

所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分

(Ⅱ）设切点坐标为，则           6分（1个方程1分）

解得，.                                   7分

（Ⅲ），

则，                                   8分

解，得，

所以，在区间上，为递减函数，

在区间上，为递增函数.                      9分

当，即时，在区间上，为递增函数，

所以最小值为.                        10分

当，即时，在区间上，为递减函数，

所以最小值为.                11分

当，即时，最小值

=.

综上所述，当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.    12分

考点：1.用导数处理函数的单调区间和函数的最值；2.求曲线在某点的切线方程