Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(   )

A．AB₁∥平面BDC₁

B．A₁C⊥平面BDC₁

C．直三棱柱的体积V＝4

D．直三棱柱的外接球的表面积为4π

Answer

D

【解析】

试题分析：由三视图可知，直三棱柱ABC-A1B1C1侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2，连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1，A对；直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C①，又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥B1C，在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1⊂=B1，∴B1C⊥平面A1B1C，∴B1C⊥A1C②,由①②，又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1 ,B对；，C对；直三棱柱的外接球的半径为所在正方体的体对角线的一半，即，故直三棱柱的外接球的表面积为，D错.故选D.

考点：1.三视图；2.直线与平面平行的判定；3.直线与平面垂直的判定