Question

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

Answer

（1）

（2）当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元

【解析】

试题分析：（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可.

试题解析：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05×1000万元，依题意得：

当时，

.  2分

当时，

=.  4分

所以   6分

（2）当时，

此时，当时，取得最大值万元.    8分

当时，

当时，即时取得最大值1000万元.   11分

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.  12分

考点：1.分段函数的值域的求法；2.二次函数的最值求法；3.函数模型的应用