Question

如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为.

（1）求二面角的正切值；

（2）求直线到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使异面直线与所成的角为，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）不存在.

【解析】

试题分析：（1）根据四面体的体积及底面积可求出.，为中点，所以，这样可得为二面角的平面角. 在中即可求得其正切值.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD内过点D作交线BG的垂线，即可得PD在面PBG内的射影，从而得PD与面PBG所成的角.（3）存在性的问题，一般都通过建系来求.dsgjghmk两两垂直，故可分别以为轴建立坐标系.

假设存在且设

然后用向量的夹角公式求y,如果能求出满足条件的y则存在，若不能求出满足条件的y，则不存在.

试题解析：（1）由四面体的体积为.∴

设二面角的大小为为中点，

∴同理∴

∴                    3分

（2）由

∴为等腰三角形，GE为的角平分线，作交BG的延长线于K,

∴

由平面几何知识可知： ，.设直线与平面所成角为

∴                      8分

（法二：建系）

（3）两两垂直，分别以为轴建立坐标系

假设存在且设

∴又直线与所成的角为

∴化简得：

不满足

∴这样的点不存在                        12分

考点：1、二面角；2、线与平面所成的角；3、异面直线所成的角.