Question

定义函数为的阶函数.

（1）求一阶函数的单调区间；

（2）讨论方程的解的个数；

（3）求证：.

Answer

（1）当时,无单调区间；

当时,的单增区间为单减区间为；

当时,的单增区间为,单减区间为；

（2）当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当或时,方程有唯一；

（3）详见解析.

【解析】

试题分析：(1)求导，对分情况讨论；

(2)研究方程的解的个数，实质就是研究函数的图象.通过求导，弄清函数的单调区间及函数值的范围，结合图象即可知道方程的解的个数.

(3)待证不等式

可变为，左右对照，考虑证：

再联系到本题所给函数，可令，且研究的3阶函数，即.

.由得

则在单调递增,在单调递减.

即.又时,

再令即得证.

试题解析：(1),

令,当时,

当时,无单调区间；

当时,的单增区间为单减区间为.

当时,的单增区间为,单减区间为.4分.

(2)由当时,方程无解.当时,

令则由得

从而在单调递增,在单调递减.

当时,，当

当,即时,方程有两个不同解.

当,即时,方程有0个解

当,或即或时,方程有唯一解.

综上,当时,方程有两个不同解.当时,方程有0个解.当或时,方程有唯一解.  9分.

(3)特别地：当时由得.

由得

则在单调递增,在单调递减.

即.又时,   12分.

令，

则   14分.

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.