Question

已知函数.

(I)若,求函数的单调区间；

(Ⅱ)求证:

(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数是的导函数)在区间上总不是单调函数,求的取值范围。

Answer

(I) 的单调增区间为,减区间为  ；(Ⅱ) 证明详见解析；(Ⅲ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)先求导数，然后求导数大于或小于零的区间，即得原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ) 可知 当时,即对一切成立，可得，然后叠乘即可. (Ⅲ)求出，则，求出，，再求出，则，由于:对于任意的,恒成立,，所以，解出m即可.

试题解析：【解析】
(Ⅰ)当时, ，解得；解得[的单调增区间为,减区间为 

(Ⅱ)证明如下: 由(Ⅰ)可知 当时,即,

∴对一切成立 

∵,则有,∴ 

(Ⅲ) ∵∴得, ,∴  

∵在区间上总不是单调函数,且∴ 

由题意知:对于任意的,恒成立, 所以,,∴.

考点：1.函数的导数和导数的性质；2.不等式的证明；3.导数性质的应用.