Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

Answer

（I）详见解析；（II）二面角E－BC1－D的余弦值为．

【解析】

试题分析：（I）由于EF与BD在同一个平面内，显然考虑在ABB1A1这个平面内证明这两条直线平行，这完全就是平面几何的问题了.取AB的中点M，，所以F为AM的中点，又因为E为的中点，所以.又分别为的中点，，且，所以四边形为平行四边形，，，由此可得平面.

（II）取AB的中点M，则MB、MC、MD两两垂直，所以可以以M为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角E－BC1－D的余弦值.

试题解析：（I）证明：取AB的中点M，

，所以F为AM的中点，又因为E为的中点，所以.

在三棱柱中，分别为的中点，

，且，

所以四边形为平行四边形，，

，又平面，平面，

所以平面.

（II）以AB的中点M为原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，

∴，，．

设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，

则由得取，

又由得取，

则，

故二面角E－BC1－D的余弦值为．       12分

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量的应用；3、二面角.