Question

已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；

（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.

Answer

（1）－1；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据利用导数求函数在闭区间上的最值的方法即可求得.

（2）首先将代入得，然后求导：.

在区间上不单调，那么方程在（0，3）上应有实数解，且不是重根即解两侧的导数值小于0.

将方程变形分离变量得：.下面就研究函数，易得函数在上单调递增，所以，（）.结合图象知，时，在（0，3）上有实数解.这些解会不会是重根呢？

由得：，若有重根，则或.这说明时，没有重根. 由此得：.

（3）时，，所以.有两个实根，则将两根代入方程，可得.

再看看待证不等式：，这里面不仅有，还有，那么是否可以消去一些字母呢？

将两式相减，得， 变形得：

, 将此式代入上面不等式即可消去，整理可得：

，再变形得：．下面就证这个不等式.这类不等式就很常见了，一般是将看作一个整体，令，又转化为 ，只需证即可．而这利用导数很易得证.

试题解析：（1）  

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，     3分

所以．                                      4分

（2）因为，所以，                   5分

因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，

由，有=，（）             6分

又当时，有重根；时，有重根.            7分

综上                              8分

（3）∵，又有两个实根，

∴，两式相减，得，

∴,                                           10分

于是

．                             11分

．

要证：，只需证：

只需证：．(*)                                         12分

令，∴(*)化为 ，只证即可． 在（0，1）上单调递增，，即．∴．  14分

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.