Question

已知函数.

(Ⅰ)求在处的切线方程；

(Ⅱ)求的单调区间；

（Ⅲ）若，求证：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当，的单调增区间；当时,函数 的单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出导数及切点，利用直线的点斜式方程即可得切线方程.

（Ⅱ）将求导，利用求得其递增区间，求得其递减区间.

在本题中，，由得：.当, 的单调增区间；

当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

（Ⅲ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数有什么关系？待证不等式可做如下变形： ，最后这个不等式与有联系吗？我们往下看.

,所以在上是增函数.

因为，所以

即从这儿可以看出，有点联系了.同理，

所以，

与待证不等式比较，只要问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证.

试题解析：（Ⅰ），，所以切线为：即  3分

（Ⅱ），

，     4分

，,        5分

当，的单调增区间；     6分

当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.   8分

（Ⅲ）,所以在上是增函数, 上是减函数

因为，所以

即,同理.

所以

又因为当且仅当“”时，取等号.

又，,

所以,所以，

所以：.      14分

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.