Question

已知直三棱柱的三视图如图所示，且是的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）当点为线段中点时，与成角.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）为了证明∥平面,需要在平面内找一条与平行的直线，而要找这条直线一般通过作过且与平面相交的平面来找.在本题中联系到为中点，故连结，这样便得一平面，接下来只需证与交线平行即可.对（Ⅱ）（Ⅲ）两个小题，由于是直三棱柱，且，故两两垂直，所以可以以为坐标轴建立空间直角坐标系来解决.

试题解析：（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ∥， 因为 平面，平面， 所以 ∥平面.                             4分

（Ⅱ）【解析】
由是直三棱柱，且，故两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.

，则.

所以 ，

设平面的法向量为，则有

所以  

取，得.        6分

易知平面的法向量为.                   7分

由二面角是锐角，得 .   8分

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）【解析】
假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.           9分

因为与成角，所以.          10分

即，解得，舍去.       11分

所以当点为线段中点时，与成角.         12分

考点：1、空间直线与平面平行；2、二面角；3、空间异面直线所成的角.