Question

已知.

（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；

（Ⅱ）当时,若,求的值；

（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）既不是奇函数,也不是偶函数；（Ⅱ）或；

（Ⅲ）当时,的取值范围是；当时,的取值范围是；当时,的取值范围是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明.当时,，从解析式可以看出它既不是奇函数,也不是偶函数.对既不是奇函数,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明.

（Ⅱ）当时,, 由得，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值符号.这又是一个含有指数式的不等式，对这种不等式，一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出的值.

（Ⅲ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值.在本题中，分离参数比较容易.分离参数时需要除以，故首先考虑的情况. 易得时,取任意实数,不等式恒成立.

,此时原不等式变为；即，这时应满足：，所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对进行讨论.

试题解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数  

∵,∴ 

所以既不是奇函数,也不是偶函数           3分

（Ⅱ）当时,, 由得  

即或  

解得 

所以或           8分

（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,

故只需考虑,此时原不等式变为；即

故

又函数在上单调递增,所以;

对于函数 

①当时,在上单调递减,,又,

所以,此时的取值范围是  

②当,在上,,

当时,,此时要使存在,

必须有     即,此时的取值范围是

综上,当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是;

当时,的取值范围是            13分

考点：1、函数的奇偶性和单调性；2、函数的最值；3、不等关系.