Question

设函数对任意，都有，当时， 

（1）求证：是奇函数;

（2）试问：在时  ，是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.

（3）解关于x的不等式

Answer

（1）详见解析；（2）函数最大值为；（3）①，则解为；②，则解为；③，则无解.

【解析】

试题分析：（1）要证明为奇函数，需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来？

为了产生，令，则.这时的等于0吗？如何求？再设可得，从而问题得证.

（2）一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值，就需要研究函数的单调性.研究单调性，第一，根据定义，第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取，则，根据条件可得：即

所以为减函数，那么函数在上的最大值为.

（3）有关抽象函数的不等式，都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为，注意必须是左右各一项.在本题中，由题设可得，在R上为减函数

，即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数，故需要分情况讨论.

试题解析：（1）设可得，设，则

所以为奇函数.

（2）任取，则，又

所以

所以为减函数。

那么函数最大值为，，

所以函数最大值为.

（3）由题设可知

即

可化为

即，在R上为减函数

，即，

①，则解为

②，则解为

③，则无解

考点：1、抽象函数；2、函数的性质；3、解不等式.