Question

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.

（I）求函数的解析式；

（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

Answer

（I）；（II）时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值.

【解析】

试题分析：（ I）涉及切线，便要求出切点.本题中切点如何求？函数的图象在与轴交点处的切线方程是.说明切点就是直线与轴交点，所以令便得切点为(2,0).切点既在切线上又曲线，所以有, 即.

函数在切点处的导数就是切线的斜率，所以由已知有即.这样便得一个方程组，解这个方程组求出 便的解析式.

（II）将求导得，，

令.这是一个二次方程，要使得函数有极值，则方程要有两个不同的实数根，所以，由此可得的范围.解方程有便得取得极值时的值.

试题解析：（ I）由已知,切点为(2,0), 故有, 即

又，由已知得

联立①②，解得.所以函数的解析式为  

（II）因为

令

当函数有极值时，则，方程有实数解，                                            由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当m<1时,g'(x)=0有两个实数根x1= (2 ), x2= (2+), g(x),g'(x) 的情况如下表：

+

0

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值.

考点：导数的应用.