Question

设函数，其对应的图像为曲线C；若曲线C过，且在点处的切斜线率

（1）求函数的解析式

（2）证明不等式.

Answer

（1） ；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题设可得两个方程：  ①，   ②.解这个方程组，求得的值，便得函数的解析式.（2）要证明不等式只需证（）的最大值小于等于0即可，而利用导数很易求得的最大值，从而使问题得证.

试题解析：（1）由得 

∵曲线C过      ∴   ①                 2分

又∵曲线C在点处的切斜线率

∴   ②                          4分

联立①②解之得                       5分

∴函数的解析式为              6分

（2）由（1）知其定义域为

令（），则         8分

令（），解之得         10分

∴函数在 上单调递增，在 上单调递减，    12分

而,所以的最大值为0，故当时，即.  13分

考点：导数的应用.