Question

已知，，且

（1）求函数的单调增区间；

（2）证明无论为何值，直线与函数的图象不相切.

Answer

（1）单调增区间为和；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先由向量的数量积及坐标运算得函数的解析式，利用正弦函数的单调区间即可求得该函数的单调区间；（2）注意直线的斜率为4，那么要证明无论为何值，直线与函数的图象不相切，就只需通过求导说明函数的导数值不可能等于4即可.

试题解析：（1）∵，，且

∴              1分

＝＝

＝                       3分

令，解之得      4分

又∵ ∴

故函数 的单调增区间为       6分

（2）∵       9分

∴曲线的切线斜率的取值范围为

而直线的斜率为，              11分

∴证明无论为何值，直线与函数的图象不相切    12分

考点：1、向量的数量积及坐标运算；2、三角变换及三角函数的单调区间；3、导数的应用.