Question

已知函数 

（1）求的单调区间和极值；

（2）当m为何值时，不等式 恒成立？

（3）证明：当时，方程内有唯一实根．

（e为自然对数的底；参考公式：．）

Answer

（1）内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．（2）m≤1．（3） 详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导即得.（2）要不等式 恒成立，只需的最小值≥0即可.（3） 要证明方程内有唯一实根，需要证明以下两点：第一、在上是单调函数，第二、.

试题解析：（1）．

∵         2分

∴内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．                          4分

（2）由（1）知，在定义域内只有一个极值点，所以的最小值就是1－m，从而当1－m≥0时，不等式≥0恒成立                6分

故所求的实数m的取值范围是m≤1．                     8分

（3）∵m>1，．                 9分

又               10分

∵

∴．                           12分

根据第1小问的结论，在（1－m，+∞）内是增函数,因此，方程在区间内有唯一的实根              13分

考点：1、导数的应用；2、函数的零点（方程的根）；3不等式.