Question

已知函数.

(Ⅰ)若时，求的值域；

(Ⅱ)若存在实数，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）的值域为：.（II）.

【解析】

试题分析：（I）将二次函数配方，结合抛物线的图象便可得的值域.

（II）由恒成立得：恒成立，

令，则只需的最大值小于等于0.

由此得：，令

则原题可转化为：存在，使得 .这又需要时.接下来又对二次函数分情况讨论，从而求出实数的取值范围.

试题解析：（I）将二次函数配方得：  2分

该函数的图象是一条开口向上的抛物线，顶点为，.

因为，所以最大值为，

∴的值域为：              6分

（II）由恒成立得：恒成立，

令，因为抛物线的开口向上，所以，由恒成立知：                 8分

化简得：   令

则原题可转化为：存在，使得   即：当，  10分

∵，的对称轴： 

  即：时，

∴解得：   

②当  即：时，

∴解得：

综上：的取值范围为：                 13分

法二：也可，

化简得：  有解.

，则.

考点：1、二次函数；2、函数的最值；3、解不等式.