Question

设和是函数的两个极值点，其中，．

(Ⅰ) 求的取值范围；

(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然对数的底数）．

Answer

(Ⅰ) 的取值范围是．(Ⅱ) 的最大值是．

【解析】

试题分析：(Ⅰ)函数的定义域为，．因为和是函数的两个极值点，所以、就是方程有两个不等的正根（其中）．由此可求得的范围故，并且可找到、与之间的关系，从而可以用表示出来，这样根据的范围便可求出 的范围.

(Ⅱ) 首先是怎样的一个式子？

.

.这个式子中的都是变量，能否变成一个？

由题设可得，这样，由此可令，从而

.接下来就根据的范围求出的范围，进而求出 的范围．

试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为，．  1分

依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故

，              3分

并且 ．

    所以，

    故的取值范围是．               6分

(Ⅱ)解:当时，．若设，则

．

于是有

构造函数（其中），则．

所以在上单调递减，．

故的最大值是．                  14分

考点：1、导数的应用；2、不等关系.