Question

已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足.

（I）求数列的通项公式；

（II）设数列的前项和为，求证：.

Answer

（Ⅰ）. （Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先令求出首项，.

由两式相减，得即.所以，

数列是首项为2，公比为的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.

（Ⅱ）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：，.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.

试题解析：（Ⅰ）由题设知，          2分

由两式相减，得.

所以.            4分

可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。

所以                     6分

（Ⅱ），           8分

.              10分

=.                 12分

考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.