Question

成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：

（I）求获得参赛资格的人数；

（II）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；

（III）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

Answer

（I） 125；（II）78.48；（III） 分布列为：

   3

    4

    5

数学期望为.

【解析】

试题分析：（I）将频率分布直方图中90~150的小矩形的面积相加，便得获得参赛资格的人数的频率.频率乘以测试总人数500，便得获得参赛资格的人数.

（II）在频率分布直方图中，平均值等于每小组的频率乘以每小组中点的值的和.

（III）已知连续两次答错的概率为，由此可得答对每一道题的概率.注意，答题的个数包括答对的和答错的.显然答题的个数可取3、4、5. “”表示连续答对3个或连续答错3个；“”表示前3题中恰好答对2个且第4 个题答对或前3题中恰好答错2个且第4 个题答错；“”表示前4个题恰好答对2个.根据独立事件的概率公式便可得 的分布列，由随机变量的数学期望公式可求得的期望.

试题解析：（I）获得参赛资格的人数    2分

（II）平均成绩：

         5分

（III）设甲答对每一道题的概率为.P

则

的分布列为

   3

    4

  5

        12分

考点：1、频率分布直方图及样本数据的平均数；2、随机变量的分布列及期望.