Question

已知函数（其中为常数）.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，设函数的3个极值点为，且.证明：.

Answer

(Ⅰ)单调减区间为,；增区间为.(Ⅱ)详见解析.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)将代入，然后求导便可得其单调区间.

(Ⅱ)我们分以下几步来分析.

第一步、对求导得：.显然是它的一个极值点，下面我们要弄清楚应该是还是.另两个极值点便是方程的根.对这个方程，我们不可能直接解，所以接下来就利用导数研究函数.

第二步、对求导得：

∴函数在上单调递减，在上单调递增

当时，，.又，

所以在上必有一个极值点.

因为，所以，，

∴的两个零点必有一个小于（实际上比还小），而另一个大于1，

∴.

∴当时，是函数的两个零点，且.

即有.这样问题转化为在该条件下证明.那么这个不等式如何证呢？

第三步、注意到待证不等式中不含，故考虑消去，找到之间的关系式.

消去有.

令，有零点.

∴函数在上递减，在上递增，在处取得极小值.由于，所以.

因为.

所以要证明，只需证.那么这个不等式又如何证明呢？

因为函数在上递增，所以转化为证.

 即证.

这个不等式，通过构造函数，再利用导数就很容易证明了.

试题解析：(Ⅰ)求导得：.

令可得.列表如下:

-

-

0

+

减

减

极小值

增

单调减区间为,;增区间为.         5分

(Ⅱ)由题，

对于函数，有

∴函数在上单调递减，在上单调递增

∵函数有3个极值点，

从而，所以，

当时，，，

∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，

此时，函数有3个极值点，且；

∴当时，是函数的两个零点，      9分

即有，消去有

令，有零点，且

∴函数在上递减，在上递增

要证明   

 即证

构造函数，，所以

只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增,

∴当时，.             14分

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明.