Question

已知函数，其中，．

(Ⅰ)若的最小值为，试判断函数的零点个数，并说明理由；

(Ⅱ)若函数的极小值大于零，求的取值范围．

Answer

（I）函数的零点个数有3个；(Ⅱ) 

【解析】

试题分析：（I）为确定函数零点的个数，可通过研究函数图象的形态、函数的单调性完成，具体遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.

 (Ⅱ)  为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.

本小题利用“表解法”，形象直观，易于理解.为使，满足，从而得到.

试题解析：

（I），        1分

当时，有最小值为，

所以，即，        2分

因为，所以，        3分

所以，

所以在上是减函数，在上是增函数，        4分

而，，        5分

故函数的零点个数有3个；        6分

(Ⅱ)  令，得，        7分

由知，根据（I），当变化时，的符号及的变化情况如下表：

0

＋

0

－

0

＋

↗

极大值

↘

极小值

↗

因此，函数在处取得极小值，        9分

要使，必有可得，        10分

所以的取值范围是    ．    12分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，三角函数的图象和性质.