Question

已知函数，，其中且．

(Ⅰ)当，求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)若时，函数有极值，求函数图象的对称中心的坐标；

（Ⅲ）设函数 （是自然对数的底数），是否存在a使在上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

(Ⅰ) 单调增区间是，；(II) ;（III）

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 为确定函数的单调区间，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.

(Ⅱ) 为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.

本小题根据函数有极值，建立的方程，求得，从而得到.根据的图象可由的图象向下平移16个单位长度得到，而的图象关于（0，0）对称，

得到函数的图象的对称中心坐标.

（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，通过讨论导函数为负数，得到的不等式，达到解题目的.

试题解析： (Ⅰ) 当，

，        1分

设，即，

所以，或，        2分

单调增区间是，；        4分

(Ⅱ) 当时，函数有极值，

所以，        5分

且，即，        6分

所以，

的图象可由的图象向下平移16个单位长度得到，而的图象关于（0，0）对称，        7分

所以函数的图象的对称中心坐标为；        8分

（Ⅲ）假设存在a使在上为减函数，

，

        9分

当在上为减函数，则在上为减函数，在上为减函数，且，则．        10分

由（Ⅰ）知当时，的单调减区间是，

(1)当时，，在定义域上为增函数，

不合题意；        11分

(2)当时，由得：，在上为增函数，则在上也为增函数，也不合题意；        12分

(3)当时，由得：，在上为减函数，如果在上为减函数，则在上为减函数，则：

，所以．        13分

综上所述，符合条件的a满足．        14分

考点：应用导数研究函数的单调性、极值，不等式的解法.