Question

已知函数，，．

（1）求函数的极值点；

（2）若在上为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer

(1)为函数的极小值点；（2）的取值范围是；

（3）的取值范围是

【解析】

试题分析：(1)因为.由得，

所以为函数的极小值点；

（2）.

在上为单调函数，则或在上恒成立.

等价于,所以.

等价于，所以.由此可得的取值范围.

（3）构造函数，

在上至少存在一个，使得成立，则只需在上的最大值大于0 即可.接下来就利用导数求在上的最大值.

当时，，所以在不存在使得成立.

当时，，因为，所以在恒成立，

故在单调递增，，

所以只需，解之即得的取值范围.

试题解析：(1)因为.由得，

所以为函数的极小值点              3分

（2），.

因为在上为单调函数，所以或在上恒成立                                                       5分

等价于

．                      7分

等价于即在恒成立，

而．

综上，的取值范围是．                          8分

（3）构造函数，

当时，，所以在不存在使得成立.

当时，              12分

因为，所以在恒成立，

故在单调递增，，

所以只需，解之得，

故的取值范围是                                14分

考点：1、导数的应用；2、不等关系.