Question

已知函数 

（I）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（II）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）试证明： 

Answer

（Ⅰ）在区间上是减函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导即得；（Ⅱ）将分离参数得：在上恒成立，取，则，接下来就利用导数求的最小值  注意到题中要求k为整数，说明只需找出这个最小值所在的整数区间，而不用求出这个最小值

（Ⅲ）注意用前面的结论 由（Ⅱ）可得k的最大值为3，取k=3得：，

待证不等式等价于：

再对照，显然应考虑将此不等式变形：

，

再令，

这样依次取再将所得不等式相加即得  

试题解析：（Ⅰ）由题         2分

故在区间上是减函数;    3分

（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，         5分

再取则

故在上单调递增，

而，       7分

故在上存在唯一实数根，

故时，时，

故故      8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，      10分

又

                  12分

即：           14分

考点：1、导数的应用；2、不等式的证明