Question

(14分）己知函数f (x)=e^x，xR

(1)求 f (x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程。

(2)证明：曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点；

(3)设，比较与的大小，并说明理由。

Answer

(1) ；(2) 详见解析；(3) .

【解析】

试题分析：(1)f (x)的反函数. 直线y=kx+1恒过点P（0，1），该题即为过某点与曲线相切的问题，这类题一定要先设出切点的坐标，然后求导便可得方程组，解方程组即可得k的值.

 (2)曲线y=f(x)与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 而这个方程可化为

，令，结合的图象即可知道取不同值时，方程的根的个数.

(3) 比较两个式子的大小的一般方法是用比较法，即作差，变形，判断符号.

结合这个式子的特征可看出，我们可研究函数的函数值的符号，而用导数即可解决.

试题解析：(1)  f (x)的反函数为. ，，所以过点的切线为： . 4分

(2)  令，则，当时 ，当时，，所以在R上单调递增.又，所以 有且只有一个零点，即曲线与有唯一一个公共点.8分

(3) 设 

     9分

令，则，

的导函数，所以在上单调递增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上.    12分

当时，且即，

所以当时，            14分

考点：1、导数的应用；2、方程的根；3、比较大小.