Question

已知二次函数h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，f(x)=6lnx+h(x)

（1）求f(x)在x=3处的切线斜率；

（2）若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；

（3）若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围

Answer

（1）0；（2）实数m的取值范围为；（3）c的取值范围

【解析】

试题分析：（1）首先根据导函数的图象可得导函数的解析式，从而求得中的，然后再求的导数，由此可得f(x)在点处的切线斜率 （2）,这里并不含参数，可以求出它的单调区间 要使 f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，只需(m,m+)在的单调区间内即可，然后通过解不等式即得m的取值范围；

（3）函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，则恒成立 分离参数得，在恒成立，又因为k∈[-1,1]，所以 

然后利用导数求的最大值，再解不等式即可求得c的取值范围

试题解析：（1） 

又的图象过点（0，－8），（4，0），所以，

于是，

故，

∴f(x)在点处的切线斜率为              3分

（2）由，列表如下：

x

(0,1)

1

(1, 3)

3

(3,+∞)

+

0

－

0

+

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）,f(x)的单调递减区间为(1,3)

因为是单调函数，

故实数m的取值范围为                    8分

（3）由题意知：恒成立

在恒成立

恒成立       9分

令 

令则

内递减，

 时，在时在内递增，

所以当

即，又内递增

         12分

恒成立，

                 14分

考点：导数与不等式