Question

已知定义在上的函数，其中为常数.

（1）当是函数的一个极值点，求的值；

（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，若，在处取得最大值，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3） .

【解析】

试题分析：(1) 本小题首先由可得，因为是是函数的一个极值点，所以；

(2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得，根据函数在区间上是增函数，讨论参数的不同取值对单调性的影响；

（3）本小题首先求得，然后求得导数，然后讨论单调性，求最值即可.

试题解析：（1）由可得

因为是是函数的一个极值点，

所以

（2）①当时，在区间上是增函数，

所以符合题意

②当时，，令

当时，对任意的，，所以符合题意

当时，时，，所以，即符合题意

综上所述，实数的取值范围为

（3）当时，

所以

令，即

显然

设方程的两个实根分别为，则

不妨设

当时，为极小值

所以在上的最大值只能是或

当时，由于在上是递减函数，所以最大值为

所以在上的最大值只能是或

由已知在处取得最大值，所以

即，解得

又因为，所以实数的取值范围为

考点：1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化.