Question

如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.

(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.

Answer

（1）(+1)ab+a2；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要求表面积，最难求的是面的面积，要分析它的特征，如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF. ，因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC, 又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.（2）求B'-ABC的体积，要求出底面ABC的面积，高的求解根据，，，

所以.

试题解析：

（1）如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.

由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.

因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,

又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.

又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.

（2）由（1），，，所以.

考点：1.三棱锥体积和表面积的求解.