Question

已知数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.

（1）求数列、的通项公式； 

（2）设，数列的前项和为，求的取值范围.

Answer

（１），；（２）

【解析】

试题分析：(1)由已知得，再利用的关系，将其转化为关于的递推式，得，故数列是公比为2的等比数列，进而求其通项公式，等差数列中，由于知道两项，先求首项和公差，进而求通项公式；（2）求数列前n项和，先考虑其通项公式，根据通项公式的特点，选择相应的求和方法，该题，故可采取裂项相消法，求得，看作自变量为的函数，进而求值域得的取值范围．

试题解析：（1）∵是和的等差中项，∴，当时，，∴

当时，， ∴ ，即  

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，，设的公差为，

 ，，∴，∴．

（2），∴

，∵  ，∴，

，∴数列是一个递增数列   ∴.

综上所述，

考点：1、等差数列的通项公式和等差中项；2、等比数列的通项公式；3、数列求和.