Question

已知函数，h（x）=2alnx，.

（1）当a∈R时，讨论函数的单调性；

（2）是否存在实数a，对任意的，且，都有

恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）详见解析；（2）不存在.

【解析】

试题分析：(1)讨论函数的单调性，在定义域内研究其导函数的符号即可.先求导函数

，因为定义域为，故只需讨论分子符号，可结合二次函数的图象判断，此时①需讨论交点的大小，②注意根与定义域比较，所以需和-2和0比较大小；（2）由对称性，不妨设，去分母得，构造函数，则其在定义域内单调递减，故在恒成立，而，分子二次函数开口向上，不可能永远小于0，故不存在.

试题解析：(1) ，∴ , 的定义域为.

 ①当时，在上是减函数，在在上是增函数；

②当时，在上是增函数；在是是减函数；在上是增函数；

③当时，在上是增函数；

④当时，在上是增函数；在上是减函数；在上是增函数.

 （2）假设存在实数，对任意的，且，都有恒成立，不妨设，要使，即.

令 ，只要在为减函数.

又，由题意在上恒成立，得不存在. 

考点：1、导数在单调性上的应用；2、二次函数的图象；3、函数思想的应用.